Quels sont les nombres complexes?
Les nombres complexes sont des nombres qui se composent de deux parties - un nombre réel et un nombre imaginaire. Les nombres complexes sont les blocs de construction de mathématiques plus complexes, tels que l'algèbre .Ils peuvent être appliqués à de nombreux aspects de la vie réelle, en particulier dans l'électronique et l'électromagnétisme.
Le format standard pour les nombres complexes est un + bi , avec le nombre réel d' abord et le nombre imaginaire dernier. Parce que ce soit une partie pourrait être 0, techniquement tout nombre réel ou nombre imaginaire peuvent être considérés comme un nombre complexe. Complex ne signifie pas compliqué; cela signifie que les deux types de numéros se combinent pour former un complexe, comme un complexe de logements - un groupe de bâtiments reliés entre eux.
Les nombres réels sont des valeurs tangibles qui peuvent être tracées sur une ligne numérique horizontale, tels que des fractions, des nombres entiers ou un nombre dénombrable que vous pouvez penser. Les nombres imaginaires sont des concepts abstraits qui sont utilisés lorsque vous avez besoin de la racine carrée d'un nombre négatif.
Ajout et la multiplication des nombres complexes
Comme un nombre complexe est un binomiale - une expression numérique à deux termes - arithmétique se fait généralement de la même manière que tout binomiale, en combinant les termes tels et en simplifiant. Par exemple:
(3 + 2i) + (4 - 4i)
(3 + 4) = 7
(2i - 4i) = -2i
Le résultat est 7-2i .
Pour la multiplication, vous employez la méthode FOIL pour la multiplication polynomiale: multiplier le premier, multiplier le Outer, multiplier le Inner, multiplier le dernier, puis ajouter. Par exemple:
(3 - 2i) (5 + 3i) =
(3) (5) + (3) (3i) + (-2i) (5) + (-2i) (3i) =
15 + 9i + -10i + -6i 2 =
15 - i - 6 (-1) =
21 - i
La raison pour laquelle i 2 simplifie à (-1) est parce que i est la racine carrée de -1.
En divisant les nombres complexes
Division devient cependant plus complexe et nécessite l’utilisation des conjugués. Conjugués complexes sont des paires de nombres complexes qui ont des signes différents, tels que (a + bi) et (a - bi) . Multipliant complexes conjugués provoque à moyen terme pour annuler. Par exemple:
(a + bi) (a - bi) = a 2 - abi + abi - (bi) 2
Ceci simplifie à 2 - b 2 (i 2 ) = a 2 - b 2 (-1)
Le résultat final est un 2 + b 2
Lorsque l'on divise les nombres complexes, déterminer le conjugué du dénominateur et multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué. Par exemple,
(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)
Le conjugué de 7 + 4i est 7 - 4i. Donc, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué:
(5 + 2i) (7 - 4i) ÷ (7 + 4i) (7 - 4i) =
(35 + 14i - 20i - 8i 2 ) ÷ (49 - 28i + 28i - 16i 2 ) =
(35 - 6i + 8) ÷ (49 + 16) =
(43 - 6i) ÷ 65
Valeur absolue de nombres complexes
La valeur absolue d'un nombre est considérée comme sa distance de zéro sur la ligne numéro. Parce que les nombres complexes comprennent les nombres imaginaires, ils ne peuvent pas être reportés sur la ligne de nombre réel. Cependant, elles peuvent être mesurées à partir de zéro dans le plan des nombres complexes, qui comprend un axe x (le nombre réel) et l'axe des ordonnées (pour le nombre imaginaire).
Utilise des nombres complexes
Les nombres complexes peuvent être utilisés pour résoudre quadratiques pour des zéros. La formule quadratique résout ax 2 + bx + c = 0 pour les valeurs de x. Si la formule fournit un négatif de la racine carrée, les nombres complexes peuvent être utilisés pour simplifier le zéro.
Les nombres complexes sont utilisés dans l’électronique et l'électromagnétisme. Un nombre complexe unique rassemble deux quantités réelles, ce qui rend les chiffres plus facile à travailler. Par exemple, dans l’électronique, l'état d'un élément de circuit est défini par la tension (V) et le courant (I). Eléments de circuits peuvent également avoir une capacité (c) et l’inductance (L) qui décrit la tendance du circuit à résister aux changements de V et I. Plutôt que de décrire l'état de l'élément de circuit par V et I, il peut être décrit comme z = V + Ii. Les lois de l’électricité peuvent être exprimées en utilisant l'addition et la multiplication des umbers complexes.
Comme mentionné précédemment, ceci peut également être appliqué à l'électromagnétisme. Au lieu d'être décrit comme force de champ électrique et de la force du champ magnétique, vous pouvez créer un nombre complexe où les composants électriques et magnétiques sont les nombres réels et imaginaires.